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核心就一句： 那年压轴题是函数与不等式证明，很多人一上来“构造函数”就错了，定义域没卡准，后面全完。
1. 真题考点与错因
题号： 2012年天津卷理科数学第20题（压轴）。
题型： 函数综合题，主要考导数应用和不等式证明。
高频坑点：
第一步错在哪： 题目给的条件是`x > -1`，要证`ln(x+1) ≤ x`。很多人直接设`f(x) = ln(x+1)
第二问核心： 用第一问结论进行放缩，`ln(1 + 1/(2^k)) ≤ 1/(2^k)`，然后等比数列求和。关键句式：“由（1）知，当`x > -1`时，`ln(1+x) ≤ x`，令`x = 1/(2^k)`，代入累加即可。”
蒙题/检查口诀（函数证明题）： “看见`ln(x+1)`和`x`比大小，优先想导数，定义域是爹，正负分段卡。”
2. 拿来就用的答题模板（针对此类函数证明）
第一步（必写，占分！）： “设`f(x) = ln(x+1)
第二步（必写，占分！）： “求导：`f'(x) = 1/(x+1)
第三步（关键，分段讨论）： “当`-1 < x> 0`，`f(x)`单调递增；当`x > 0`时，`f'(x) < 0>
第四步（下结论）： “所以`f(x)`在`x=0`处取得极大值即最大值`f(0)=0`，故`f(x) ≤ 0`恒成立，即`ln(x+1) ≤ x`对`x > -1`成立。”
3. 真题答案关键步骤（第二问）
核心放缩： `ln[(1 + 1/2)(1 + 1/2^2)...(1 + 1/2^n)] = Σ ln(1 + 1/2^k) ≤ Σ 1/2^k`。
求和： `Σ 1/2^k = 1
最终结论： 所证不等式成立。
说完了。 就这第一步的定义域和分段讨论，当年坑了一大片。记住模板，直接套。