想拿高分必看，2014天津高考数学压轴题解题思路

一、看见“函数有两个零点”就两招

压轴题就是`f(x)=x-ae^x`有两个零点`x1, x2`。核心就两点：

1. 范围先卡死：先证明`a>0`，不然免谈。然后别上来就硬算零点，先用导数分析单调性，确定`f(x)`是先增后减，有极大值`f(-lna)`。要让这个极大值大于0，才能有两个零点，这就卡出`a`的范围了。第一问分到手。

2. 非对称偏移这么破：让你证`x1+x2`随`a`变小而增大。标准套路是对数均值不等式`(x1-x2)/(lnx1-lnx2) < (x1+x2)/2`，这个是官方标答认可的高中方法，放心用。先由零点方程`x1=ae^x1, x2=ae^x2`做差或做商，把`x1+x2`用`(x1-x2)`和`(lnx1-lnx2)`表示出来，再用对数均值不等式放缩，最后构造函数求导证明单调性。

二、想冲满分，过程必须“高中化”，别碰超纲

天津卷压轴题禁止使用洛必达、泰勒展开这些大学知识。批卷老师看你用这些直接扣分没商量。思路再对也白搭。所有放缩、证明，老老实实在导数、不等式这些高中工具包里找方法。比如上面说的对数均值不等式，虽然有点技巧，但没超纲。

三、解题三板斧，按这个顺序怼

这题考查函数思想、化归思想，搞不定就按下面步骤来：

第一板斧（求导画图）：管它问啥，先把`f'(x)=1-ae^x`求了，让导数为零找到极值点`x=-lna`。画出`f(x)`草图，增减性、零点个数一目了然。

第二板斧（必要转化）：看到`x1+x2`或者`x1, x2`的关系式，马上想到把零点方程`x=ae^x`变形，两边取对数`lnx = lna + x`，得到`x

第三板斧（差值代换）：证明单调性时（比如证`x1+x2`随`a`变化），设`t=x1-x2`或者设`t=x1/x2`，然后利用`x1, x2`的范围（比如一个大于0一个小于0）把多变量问题化成单变量函数问题，最后求导判断单调性。这是处理双变量问题的核心技巧。

四、高分关键：步骤分一分别丢

这种题答案对不见得满分。关键步骤必须写全：

1. 定义域：`f(x)`定义域是R，但`a>0`要说明。

2. 单调区间列表：求导后，列个`x, f'(x), f(x)`的增减表格，清晰又保险。

3. 取点说明零点存在：光说极大值大于0不够，还得在左右两边各取一个点（比如取很大的负数和0），证明函数值一正一负，结合单调性才说明有两个零点。

4. 用过的定理、不等式要写名字：比如“由对数均值不等式可知”，显得你思路清晰，工具明确。