上海2013年高考数学最后一道大题怎么做？手把手教你

2013上海高考理科数学压轴题，最后一题就是那道函数与数列的综合题，第23题。题目给了一个带常数c的函数定义 f(x) = 2|x-c| + |x-c^2| + 1，然后让搞数列 an，满足 an+1 = f(an)。

这题分三问，手把手带你过思路，不是光给答案，是让你知道怎么想。

第一问：给你 a1=0，求 a2 和 a3

操作：直接把 a1=0 代到 f(x) 里算。你得先根据题目给的 c 判断绝对值符号里的正负，把绝对值去掉。算 a2 就是 f(a1)，算 a3 就是 f(a2)。这步就是送分，考察你对绝对值函数的基本运算。记住，函数定义一定要看清。

第二问：证明对任意 n ≥ 1，都有 an ≥ an-1

核心：这问是证明数列不减。通常用数学归纳法。

1. 奠基：先算 a2 ≥ a1，这步基本和第一问挂钩，第一问算完 a2，就能看出来。

2. 归纳：假设 n=k 时成立（即 ak ≥ ak-1），去证 n=k+1 时也成立（即 ak+1 ≥ ak）。

3. 关键转化：你要利用函数 f(x) 的解析式，去分析它在区间上的单调性。因为 an 是由 f(x) 迭代出来的，所以 an+1

第三问：让你找到一个常数 c，使得数列 an 收敛到某个常数

难点：这问最难，是压轴题的核心。目标是找到让数列稳定下来的 c。

思路：

1. 理解收敛：数列收敛意味着随着 n 变大，an 无限接近某个固定的值 L（极限）。如果极限是 L，那么当 n 很大时，an ≈ L，an+1 ≈ L。在极限情况下，应该有 L = f(L)。这就是一个关于 L 和 c 的方程。

2. 利用不动点：解方程 L = 2|L-c| + |L-c^2| + 1。这个方程里，L 是待求的极限，c 是题目给的参数。你需要反过来想，c 取什么值时，这个方程能有解，并且对应的迭代数列 an 确实是收敛到这个解的。

3. 分段去绝对值：这是最繁琐也最关键的一步。因为你不知道 L 和 c、c^2 的大小关系，所以必须分情况讨论（比如 L每一个区间，你都把绝对值符号去掉，得到一个关于 L 和 c 的线性方程。

4. 结合数列单调有界：光有方程解还不够，你得确保用这个 c 代入后，由 a1=0 开始的迭代确实能收敛到那个 L。这通常需要验证数列是否单调递增且有上界（第二问已经帮你证明了单调不减），以及上界恰好就是那个 L。或者，你需要检查迭代过程中，an 是否会跳出你假设的那个区间，如果跳出去了，你的假设就不成立，需要调整 c 的取值。

5. 终极操作（常考套路）：对于这类迭代数列的收敛问题，一个常见思路是证明数列有界，并且在迭代函数满足压缩映像条件时必然收敛。但高考题里，更常见的做法是，通过分析，发现当 c 取某个特定范围的值时，数列 an 会“卡”在某个区间内，并且在这个区间内，函数 f(x) 具有“压缩”效应，使得 an 和极限 L 的差距越来越小。最终，经过多次尝试和排除（里是直接给出的），会得到满足条件的 c 的具体数值或范围。你需要去解那几个分段方程，看哪个解出来的 L 能满足所在区间的假设，并且能让迭代过程自洽。

手把手总结：

第一问：代进去算，注意去绝对值。答案在真题解析里有。

第二问：认准数学归纳法，核心是证 f(x) 在相关区间单调增。步骤解析里写得很清楚。

第三问：1）设极限 L，列方程 L=f(L)。2）按 L 与 c、c^2 的大小分多种情况讨论，去绝对值。3）解出 L 关于 c 的表达式。4）结合 a1=0 和迭代过程，验证哪些 c 能让数列始终落在你假设的区间并最终逼近 L。这是最难的部分，需要仔细演算，网上有当年详细的解析过程可以参考。