一、真题题干（简化）
已知椭圆 ( frac{x^2}{4} + y^2 = 1 )，过点 ( P(1,0) ) 作直线交椭圆于A、B两点，求三角形AOB面积的最大值。
二、核心计算技巧（硬核口诀）
1. 设线技巧：直线过定点 ( P(1,0) )，设方程为 ( x = my + 1 )（避开斜率不存在讨论）。
2. 联立口算：代入椭圆 ( frac{(my+1)^2}{4} + y^2 = 1 )，整理得 ( (m^2+4)y^2 + 2my
3 = 0 )。
3. 面积模板：
面积 ( S = frac{1}{2} |OP| cdot |y_A
y_B| = frac{1}{2} cdot 1 cdot sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2} )。
韦达定理：( y_1+y_2 = -frac{2m}{m^2+4} )，( y_1y_2 = -frac{3}{m^2+4} )。
4. 化简大招：
( |y_A-y_B| = sqrt{frac{4m^2}{(m^2+4)^2} + frac{12}{m^2+4}} = sqrt{frac{16m^2+48}{(m^2+4)^2}} = frac{4sqrt{m^2+3}}{m^2+4} )。
面积 ( S = frac{2sqrt{m^2+3}}{m^2+4} )。
5. 换元求最值：
令 ( t = sqrt{m^2+3} geq sqrt{3} )。
化 ( S = frac{2t}{t^2+1} )，分母 ( t+frac{1}{t} ) 在 ( t geq sqrt{3} ) 时单调增，( t=sqrt{3} ) 时 ( S_{max} = frac{sqrt{3}}{2} )。
三、避坑点
别用 ( y=k(x-1) ) 设方程，要讨论斜率不存在情况。
面积用 ( frac{1}{2} |OP| cdot |y_A-y_B| ) 可直接消去x，省去弦长公式。
最值检查定义域：( Delta > 0 ) 恒成立，不用额外算。