2010年高考数学最后一道大题解析思路全拆解

第一问（江西理科卷）

题：对任意正整数a，都存在正整数b,c（b

核心拆解：条件就是 2b² = a² + c²。要找一个对所有a都通用的构造。

思路：从最简单的数开始试，比如a=1。试几个数会发现，c=7时，b=5，满足条件。再试a=2，会发现c=14时，b=10。观察这两组解，b都是5a，c都是7a。直接验证：2×(5a)² = 50a²， a² + (7a)² = 50a²，正好相等。所以构造就是：令b=5a, c=7a。

第二问（江西理科卷）

题：存在无穷多互不相似的三角形，其边长为正整数且它们的平方成等差数列。

核心拆解：要找无穷多组正整数(a,b,c)，能构成三角形，且满足2b² = a² + c²。

思路：这个等式很像勾股定理的变形。从勾股数入手，设直角三角形的三边为(x, y, z)，满足z²=x²+y²。把2z²拆开：2z² = 2x²+2y² = (y-x)² + (y+x)²。对比题目条件，只要令a=y-x, b=z, c=x+y，就能满足2b²=a²+c²。

构造：需要a,b,c能构成三角形（两边之和大于第三边），且互不相似。取无穷多组本原勾股数（即x,y,z互质），比如(5,12,13)、(7,24,25)等。计算a=y-x，c=x+y，这样得到的(a,b,c)就是满足条件的无穷多组三角形边长。例如，用(5,12,13)得(7,13,17)；用(7,24,25)得(17,25,31)。

全国卷等其他压轴题

2010年全国卷（文/理）的压轴题通常是解析几何或导数，特点是运算量巨大。

解析几何（常见）：核心套路就是“设线-联立-韦达定理”。设出直线方程，和圆锥曲线方程联立，得到一元二次方程，用韦达定理表示出两根和、积。第二问往往涉及定点、定值、范围，关键是把题目条件（比如向量共线、角度相等）转化成坐标表达式，然后狂用韦达定理代入化简。

导数：第一问通常是求单调区间、极值，按步骤求导讨论就行。第二问常考不等式证明或求参数范围。关键技巧是分类讨论和构造函数。看到恒成立，先试试分离参数；分不了就讨论函数单调性。证明不等式有时需要把式子变形，或构造两个函数比较大小。

直接能用的口诀和考点

压轴题抢分口诀：

1. 第一问必做：再难的压轴题第一问通常都是送分，一定不能空着。

2. 条件翻译：把文字条件（“垂直”“角平分线”“存在点”）立刻、马上转化成数学（向量点积=0、斜率关系、方程有解）。

3. 时间不够，步骤来凑：没思路也要把涉及的公式（韦达定理、求导公式）、图形画上，赚步骤分。

高频踩坑点：

解析几何联立方程时，别忘了讨论二次项系数是否为0（直线斜率不存在）。

导数题求参数范围，最后一定要验证端点值能不能取到。

立体几何用向量法，求法向量后验证一下点积是否为0。