2020高考数学填空题最后一题怎么做思路讲解

题目回顾（以全国Ⅰ卷为例）：已知三棱锥P-ABC，PA=AB=AC=2，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，求该三棱锥体积的最大值。核心思路三步走：1. 抓关键条件三条侧棱PA、PB、PC两两夹角都是30°，且长度都相等（PA=AB=AC=2）。实际上PA、AB、AC是共点A的三条线段，但

2026-06-09 08:02 浏览88次来源：yang 考试资料

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题目回顾（以全国Ⅰ卷为例）：

已知三棱锥P-ABC，PA=AB=AC=2，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，求该三棱锥体积的最大值。

核心思路三步走：

1. 抓关键条件

三条侧棱PA、PB、PC两两夹角都是30°，且长度都相等（PA=AB=AC=2）。

实际上PA、AB、AC是共点A的三条线段，但注意PB、PC与PA夹角固定，P点位置可动。

核心：以A为球心，2为半径作球面，P在球面上变动，且∠APB=∠APC=30°约束了PB、PC方向。

2. 转化几何模型

把问题拆成两步：先固定PB方向满足∠APB=30°，此时P在一个圆锥面上（A为顶点，AB为轴，半顶角30°）。

同时要满足∠APC=30°，P也在另一个同样参数的圆锥面（A为顶点，AC为轴）。

两个圆锥交线就是P的可能轨迹。

关键简化：当PB、PC对称时（比如关于AP对称），B、C到AP投影点重合，此时底面三角形BPC面积最小，高最大，体积最大。

3. 暴力建系计算（考场实操）

以A为原点，AP为z轴正向建系。

设P(0,0,2)，B、C坐标由∠APB=∠APC=30°约束：

设B在平面y=0上，由AB=2，∠APB=30°，得B(√3,0,1)（通过解直角三角形得投影长度√3，高1）。

同理C(√3·cosθ, √3·sinθ, 1)，但还需∠BPC=30°。

用向量PB·PC=|PB||PC|cos30°列方程，可解出θ=120°时对称。

此时B(√3,0,1)，C(-√3/2, 3/2, 1)，再算底面BPC面积和A到面BPC距离。

最终答案：体积最大值√3/4。

考场偷分技巧：

填空题看到“最大值”且图形对称，直接猜P在ABC平面投影时高最大（实际是错的），但本题对称猜等边三角形投影可能蒙对。

填空题算不出时，用特殊位置代入：让PB、PC关于AP对称，直接建系硬算，10分钟内出答案。

核心考点：

空间几何最值、圆锥交线、建系暴力解。记住口诀：“两角固定动点跑，对称位置最值到”。

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