2011北京高考数学三角函数大题详解

【大题原题再现】

已知f(x)=4cosxsin(x+π/6)−1。（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[−π/6, π/4]上的最大值和最小值。

【标准答案拆解】

第一步（化简）：

先化简函数。用两角和公式 sin(x+π/6)=sinx·cosπ/6 + cosx·sinπ/6 = (√3/2)sinx + (1/2)cosx。

所以 f(x)=4cosx·[(√3/2)sinx + (1/2)cosx] − 1 = 2√3 sinx cosx + 2cos²x − 1。

再用二倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=2cos²x−1，所以cos²x=(1+cos2x)/2。

代入后：f(x)=√3 sin2x + (1+cos2x) − 1 = √3 sin2x + cos2x。

最后用辅助角公式：√3 sin2x + cos2x = 2·[(√3/2)sin2x + (1/2)cos2x] = 2sin(2x+π/6)。

口诀记牢： 三角函数大题三步走——“先拆角，再降幂，最后辅助角统一”。

第二步（求周期）：

化简后f(x)=2sin(2x+π/6)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

所以答案：（Ⅰ）最小正周期为π。

核心考点： 高考三角大题基本就考周期性、单调性、最值这三样。最值问题常用二次函数、均值不等式或求导，但本题化简后直接看正弦函数范围就行。

第三步（求区间最值）：

题干给区间x∈[−π/6, π/4]，先算2x+π/6的范围。

当x=−π/6时，2x+π/6=2×(−π/6)+π/6=−π/6；

当x=π/4时，2x+π/6=2×(π/4)+π/6=π/2+π/6=2π/3。

所以整体角范围：2x+π/6 ∈ [−π/6, 2π/3]。

正弦函数y=sinθ在[−π/6, π/2]上单调增，在[π/2, 2π/3]上单调减。

分别算端点值：sin(−π/6)=−1/2，sin(π/2)=1，sin(2π/3)=√3/2。

所以sinθ在给定区间内最小值是−1/2，最大值是1。

原函数f(x)=2sin(2x+π/6)，所以最大值=2×1=2，最小值=2×(−1/2)=−1。

答案：（Ⅱ）最大值为2，最小值为−1。

答题模板句式：

“由题意，f(x)化简为XXX。

∵T=2π/|ω|，∴最小正周期为XXX。

令t=2x+π/6，当x∈[a,b]时，t∈[c,d]。

根据y=sint图像，在区间[c,d]上，当t=α时取最大值M，当t=β时取最小值m。

故f(x)最大值为2M，最小值为2m。”

【当年考情与难度】

2011年北京高考数学整体难度比2010年下降。三角函数这道大题是第15题，属于送分题，风格常规，没出幺蛾子。

当年大题结构是：三角、立体几何、概率统计、导数、解析几何、创新题。三角和立体几何都“保持正常”，意思是只要基础公式熟，都能拿满分。

高频考点清单（三角部分）：

1. 公式变换：诱导公式、两角和差、二倍角、辅助角（必考）。

2. 图像性质：周期性、单调性、对称性、最值（高频）。

3. 解三角形：正余弦定理、面积公式（大题另一热门方向）。

蒙题/技巧（万一不会化简）：

1. 周期只看ω：函数形式能化成Asin(ωx+φ)，周期直接写π/|ω|。

2. 区间最值：实在不行就把区间端点x值代回原函数f(x)算一遍，一般能蒙对一个值。

3. 答案常见数字：最大最小值经常是2、1、-1、-2这些，算出来特别怪的数可能错了。

真题答案对照：

最终答案就是上面算的：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值2，最小值-1。和官方解析一致。

【避坑指南】

1. 化简时别漏掉常数项，比如本题最后的“−1”。

2. 用辅助角公式前确保sin和cos系数平方和开方正确（本题是√[(√3)²+1²]=2）。

3. 算区间最值时，必须先把整体角（2x+π/6）的范围求对，这是唯一易错点。