2014年山东高考数学概率统计大题，经典例题分析

原题（理科第16题，文科第17题，数据为编撰示例）：

乒乓球比赛，甲、乙两人比赛，甲赢的概率2/3，乙赢的概率1/3。规定：一方领先2分就赢，比赛结束。现有比分甲：乙 = 1：0。

（1）求再赛两局结束比赛的概率。

（2）记比赛总局数为X，求X的分布列和数学期望。

答题套路三步走：

1. 翻译题干：看到“领先2分结束”，就是“差两分”。初始1:0，甲领先1分。关键：谁先再赢2分谁结束。

2. 画图穷举（列表更快）：

（1）问“再赛两局结束”：要么“甲连胜”，要么“乙连胜”。

甲连胜概率 = (2/3) × (2/3) = 4/9。

乙连胜概率 = (1/3) × (1/3) = 1/9。

总概率 = 4/9 + 1/9 = 5/9。

（2）问总局数X：从当前开始算，可能打2局、3局、4局…

前两局“甲→乙”或“乙→甲” = C(2,1)×(2/3×1/3) = 4/9。

第三局取决于前两局谁赢谁输？错了！仔细想：比分从1:0开始，如果前两局打成1:1，那总比分就是2:1或1:2？停！不对。

正确推法：比分从1:0（甲领先1分）开始。

若要X=3结束，则打完前两局时，不能有人领先2分（否则X=2就结束了），且必须有人领先1分（这样第三局赢的人就领先2分结束）。

领先1分的情况：总比分可能是2:1（甲领先1分）或1:2（乙领先1分）。

如何到2:1？路径：第一局甲赢（概率2/3）→比分2:0（停！这已经领先2分，X=2就结束了，矛盾）。所以此路不通。

如何到1:2？路径：第一局乙赢（概率1/3）→比分1:1→第二局甲赢或乙赢？算一下：第一局乙赢（1/3）后比分1:1，第二局若甲赢（2/3），比分2:1，此时甲领先1分，未结束；第二局若乙赢（1/3），比分1:2，乙领先1分，未结束。但我们要X=3结束，第三局必须让领先一方再赢一局。

所以符合X=3的路径：

(1) 第一局乙赢(1/3) → 第二局甲赢(2/3) → 第三局甲赢(2/3) 结束（此时比分3:1）。概率 = (1/3)×(2/3)×(2/3)=4/27。

(2) 第一局乙赢(1/3) → 第二局乙赢(1/3) → 第三局乙赢(1/3) 结束（此时比分1:3）。概率 = (1/3)×(1/3)×(1/3)=1/27。

总P(X=3) = 4/27 + 1/27 = 5/27。

3. 期望公式：E(X) = Σ [x · P(X=x)]。算完分布列直接套。

高频考点：

1. 比赛赛制翻译（领先制、总分制）。

2. 分类分步与穷举（画树状图最稳）。

3. 分布列检验：所有概率和=1。

4. 期望计算别算错数。

蒙题技巧（应急用）：

1. 概率题小数答案少见，多是分数如1/3, 2/3, 4/9。

2. 分布列概率和必为1，可用来检查。

3. 期望值通常介于最小可能局数和最大可能局数之间。

真题答案要点（参考）：

(1) 5/9。

(2) X取2,3,4,…，分布列需完整列出，数学期望E(X) = 某值（计算略）。