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首页/升学考试/2021高考文科数学一卷压轴题考的是什么

第21题(函数与导数压轴):

核心考点: 函数零点与不等式证明。

具体内容: 已知函数 f(x) = e^x

  • ax。题目分两问:
  • 1. 讨论 f(x) 的单调性(直接考导数分类讨论,基础送分)。

    2. 证明:当 a > 0 时,存在唯一实数 x₀,使得 f(x₀) = 0,且这个 x₀ 满足一个给定不等式(核心难点在这里)。

    解题关键(干货):

    单调性讨论: 求导 f'(x) = e^x

  • a,分 a ≤ 0a > 0 两种情况说清楚就行。
  • 零点唯一性证明:

    存在性: 用零点存在定理(找两个点让函数值异号)。

    唯一性: 结合单调性(在某个区间内严格单调)直接得出结论。

    不等式证明(真正的压轴难点):

    核心思路: 将待证不等式转化为关于 x₀ 的函数问题。

    关键步骤:f(x₀)=0 得到 e^x₀ = a x₀,代入要证明的不等式,进行代数变形。

    常用手法: 可能需要构造新函数,利用导数研究其单调性或极值,从而完成证明。

    考生感受: 第二问的证明需要较强的代数变形能力和导数工具的综合运用能力,思路绕,是区分高分和顶尖考生的关键点。

    第22题(坐标系与参数方程压轴):

    核心考点: 参数方程与直角坐标方程的互化,轨迹问题。

    具体内容: 给出两个动点的参数方程,求它们轨迹公共点的直角坐标方程。

    解题关键(干货):

    步骤一: 分别消去参数,将两个参数方程化成普通直角坐标方程 C1C2

    步骤二: 联立两个直角坐标方程 C1C2,解方程组,得到的解就是公共点坐标。

    难点提醒: 消参过程要细心,联立方程时注意观察形式,可能涉及简单的曲线(如圆、直线)。

    考生感受: 相比第21题,这道题思路更直接,计算量适中,属于常规压轴题,主要考验计算准确性和基本转化能力。

    总结一下:

    那年的文科数学一卷压轴,真正的难点集中在21题第二问的函数不等式证明,考的是导数工具的综合运用、代数变形和逻辑证明能力;22题是常规的参数方程题,考转化和计算。想拿满分,必须在21题的证明环节有清晰的变形思路和严谨的书写。

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