高中数学必修二核心知识要点全总结

第一章 空间几何体

1. 空间几何体的结构

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分。

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。

圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分。

球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。

2. 空间几何体的三视图和直观图

三视图：正视图（从前往后）、侧视图（从左往右）、俯视图（从上往下）。

直观图：常用斜二测画法。步骤：在原图中建立直角坐标系，画直观图时建立夹角45°（或135°）的坐标系，平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半。

3. 空间几何体的表面积与体积

表面积公式：棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各面面积之和。

圆柱表面积：S=2πr²+2πrl。

圆锥表面积：S=πr²+πrl。

圆台表面积：S=π(r'²+r²+r'l+rl)。

球表面积：S=4πR²。

体积公式：柱体体积V=Sh；锥体体积V=Sh/3；台体体积V=(S'+√(S'S)+S)h/3；球体积V=4πR³/3。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

1. 平面

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2. 空间中直线与直线的位置关系

共面直线：相交和平行。

异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。

公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3. 空间中直线与平面的位置关系

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

直线与平面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

直线与平面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

直线与平面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

4. 平面与平面的位置关系

平行和相交。

平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面与平面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

平面与平面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

5. 空间角与距离

异面直线所成角：通过平移，转化为相交直线的夹角，范围(0°, 90°]。

直线与平面所成角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，范围[0°, 90°]。

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的平面角范围[0°, 180°]。

第三章 直线与方程

1. 直线的倾斜角与斜率

倾斜角：x轴正向与直线向上方向之间所成的角，范围[0°, 180°)。

斜率：k=tanα（α≠90°）。过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)（x1≠x2）。

2. 直线的方程

点斜式：y-y1=k(x-x1)。

斜截式：y=kx+b。

两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（x1≠x2，y1≠y2）。

截距式：x/a+y/b=1（a≠0,b≠0）。

一般式：Ax+By+C=0（A,B不同时为0）。

3. 两直线的位置关系

平行：k1=k2且b1≠b2（斜截式）；A1/A2=B1/B2≠C1/C2（一般式）。

垂直：k1·k2=-1（斜率存在）；A1A2+B1B2=0（一般式）。

相交：联立方程求交点。

4. 距离公式

两点间距离：|P1P2|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

点到直线距离：d=|Ax0+By0+C|/√(A²+B²)。

平行线间距离：d=|C2-C1|/√(A²+B²)。

第四章 圆与方程

1. 圆的方程

标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心(a,b)，半径r。

一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，配方得圆心(-D/2,-E/2)，半径r=√(D²+E²-4F)/2（需满足D²+E²-4F>0）。

2. 点与圆的位置关系

点在圆内、上、外，代入方程计算与r²比较。

3. 直线与圆的位置关系

几何法：比较圆心到直线距离d与半径r的关系。d>r相离；d=r相切；d

代数法：联立方程，消元得一元二次方程，判断Δ。Δ>0相交；Δ=0相切；Δ<0>

4. 圆与圆的位置关系

圆心距d与半径R,r比较。d>R+r外离；d=R+r外切；|R-r|

5. 空间直角坐标系

坐标表示点、距离公式：|P1P2|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。